Todo Ciencia: Asíntotas verticales de una función

Por F. Zapata

Las asíntotas verticales son rectas verticales que la gráfica de una función nunca cruza y se ubican en x = c, donde c es número real. El valor de la función en las cercanías de x = c crece o decrece rápidamente, en otras palabras, cuando x se aproxima a c, f(x) se aproxima a +∞ o −∞. Gráficamente es algo como esto:

Asíntota vertical de una función, en este ejemplo, la función tiende a infinito positivo a la izquierda de la asíntota, mientras que a la derecha, la función tiende a infinito negativo. Fuente: R. Pérez.

La asíntota es la recta vertical en rojo, y la función es la curva en verde. Nótese que efectivamente, la asíntota es una barrera para la función, pues la curva nunca la intersecta.

Las funciones racionales tienen una o más asíntotas verticales, estas funciones son de la forma:

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

Donde P(x) y Q(x) son dos funciones polinómicas irreducibles. Las asíntotas verticales ocurren cuando el denominador se anula, por lo tanto el primer paso para hallar las asíntotas es resolver la ecuación:

Q(x) = 0

Una vez halladas las raíces x₁, x₂, x₃… sigue evaluar el comportamiento de la función en las cercanías de x₁, x₂, x₃…ya que tales valores de la variable “x” están excluidos del dominio de la función. Este comportamiento, como ya se dijo arriba consiste en que la función crece o decrece rápidamente, lo cual se expresa a través de los límites laterales.

Los límites laterales consisten en acercarse tanto como se quiera a x = c, tanto desde la izquierda, es decir, valores apenas un poco menores que c, como desde la derecha, con valores apenas mayores que c.

Supóngase que x = c es una de las raíces o ceros de Q(x), al acercarse por la izquierda, se toma el límite de la función cuando x tiende a c^-, y al acercarse a x=c desde la derecha, se toma el límite de la función cuando x tiende a c⁺:

$\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=\pm \infty$

$\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=\pm \infty$

La gráfica de la función corrobora estos límites y se puede realizar rápidamente con algún software graficador online gratuito, por ejemplo Geogebra.

En este ejemplo, la función tiende a infinito positivo a ambos lados de la asíntota. Fuente: R. Perez.

Resumen

Para hallar las asíntotas verticales de la función racional f(x) = P(x)/Q(x) sigue estos pasos:

Reduce (simplifica) la función f(x) = P(x)/Q(x)
Halla los ceros o raíces de Q(x) resolviendo la ecuación Q(x) = 0
Examina el comportamiento de la función a través de los límites laterales cuando x se acerca a cada uno de los ceros de Q(x).

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Hallar las asíntotas verticales de:

$f(x)=\frac{x-1}{x-2}$

Solución

La fracción algebraica es irreducible, por lo tanto se resuelve de inmediato la ecuación:

x−2=0

x=2

La asíntota vertical de f(x) está en x = 2. Ahora se examina el comportamiento de la función al acercarse a x=2 desde la izquierda y desde la derecha mediante los límites laterales.

Límite de f(x) por la izquierda cuando x→2

$\lim_{x\rightarrow 2^{-}}\frac{x-1}{x-2}= -\infty$

¿Cómo es que se puede concluir que la función tiende a −∞ al acercarse a x =2 por la izquierda? Simple, hay que sustituir en la función un valor arbitrario cercano, muy cercano a 2 y examinar el signo de lo que resulte.

Para x = 1.9999

$f(1.9999)=\frac{1.9999-1}{1.9999-2}=-9999$

Como se advierte, el resultado es un número grande y negativo, por lo tanto la función tiende a −∞.

Límite de f(x) por la derecha cuando x→2

$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{x-1}{x-2}= +\infty$

El lector lo puede corroborar si sustituye en la función un valor arbitrario apenas mayor que 2, para acercarse a x = 2 por la derecha, por ejemplo x = 2.0001:

$f(2.0001)=\frac{2.0001-1}{2.0001-2}=+100\: 001$

El signo es positivo, por lo que se concluye que la función tiende a +∞. El gráfico lo corrobora.

Gráfica de la función racional f(x) mostrando una asíntota vertical en x = 2. Fuente: F. Zapata a través de Geogebra.

Ejercicio 2

Hallar las asíntotas verticales de:

$f(x)=\frac{1}{9-x^{^{2}}}$

Solución

La fracción algebraica es irreducible, entonces se pasa de inmediato a calcular las raíces del denominador, resolviendo la ecuación:

9−x² = 0

x² = 9

x = ± 3

La función tiene dos asíntotas verticales, una es la recta x = 3 y la otra es la recta x = −3. Ahora se examina el comportamiento de la función al acercarse a ellas, tanto desde la izquierda como desde la derecha: