Factorización de expresiones algebraicas: factor común

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como el producto de dos o más factores primos, de allí el nombre de la técnica, la cual hace uso de operaciones algebraicas diversas, incluyendo propiedad distributiva y productos notables, entre otras.

Los factores primos son expresiones algebraicas que no pueden ser escritas en términos de otras expresiones más simples. Se las reconoce porque no admiten otros divisores que no sean ellas mismas o el 1.

El empleo de las distintas operaciones algebraicas dependerá de cada caso particular, y habrá casos en los cuales será preciso aplicar más de una estrategia para lograr la factorización.

 Obsérvese el siguiente ejemplo, en el cual se pide factorizar el trinomio:

x² +2x +1

 De nuestro post acerca de productos notables, es fácil identificar que el este trinomio es equivalente a:

(x+1)(x+1)=(x+1)²

 Lo cual se puede comprobar fácilmente desarrollando el producto indicado, tarea que se le deja al lector.

 Ahora obsérvese este otro ejemplo:

 

x² — 2x

 La “x” se encuentra presente en ambos términos, de modo que esta expresión es equivalente a esta otra:

x(x — 2)

Los ejemplos anteriores dan a entender que la factorización es una operación opuesta al producto notable y a la multiplicación. 

En efecto, cuando se utilizan los productos notables o se aplica la propiedad distributiva para multiplicar, se desarrolla (se expande) una expresión algebraica, mientras que el objetivo de la factorización es lo opuesto: comprimirla o reducirla.

Desde luego, es necesario reiterar que no todas las expresiones algebraicas pueden factorizarse, por ejemplo:

x² + 1

No es factorizable en el conjunto de los números reales (aunque sí puede serlo con números complejos), ya que no puede escribirse como producto de dos expresiones sencillas.

 Ahora se describirá una de las varias técnicas que existen para factorizar: la factorización por factor común.

Factorización por factor común

 Si en todos los términos de la expresión algebraica aparece un término, ya sea numérico o literal, se dice que este es un factor común.

Dicho factor puede hallarse encontrando el máximo común divisor MCD de todos los términos.

Una vez hecho esto, se divide cada término del polinomio entre el MCD y el resultado es el factor común buscado.

Ejemplo 1

Factoriza:

18x² – 12x³ + 6x⁴ – 48x⁵

 Solución

En esta expresión, la letra “x” aparece en todos los términos, y los coeficientes numéricos son todos pares, y también son múltiplos de 3 (y de 6), así que por la parte numérica también hay un factor común. El primer paso es encontrar el MCD de 8, 12, 6 y 42:

18 = 3²∙2

12 = 2²∙3

6=3∙2

48 = 2⁴∙3

 El MCD se calcula como el producto de los factores comunes con su menor exponente, por lo tanto:

 

MCD = 3∙2 = 6

En cuanto a la “x” que aparece en todos los términos, se tomará con su menor exponente, que es 2. Así, el factor común es el monomio:

6x²

 El siguiente paso es dividir cada término del polinomio original entre el factor común:

 

18x² ÷ 6x² = 3

— 12x³÷ 6x² = –2x

 6x⁴ ÷ 6x² = x²

 — 48x⁵ ÷ 6x² = –8x³

 

Con el resultado de cada división se construye el polinomio factor, que en este caso es:

 

3–2x+ x² –8x³

Por último, se indica el producto entre el factor común y el polinomio factor, obteniendo la factorización de la expresión algebraica original:

 

18x² – 12x³ + 6x⁴ – 48x⁵ = 6x² ∙(3 –2x + x² – 8x³)

 

Se deja como ejercicio para el lector efectuar el producto indicado a la derecha y verificar que es equivalente a la expresión de la izquierda.

 

Ejemplo 2

Factoriza:

 

2x(x — 1) — 3y(x — 1)

 Solución

En este caso, el factor común no es un monomio, sino el binomio: 

x — 1

 

Al dividir cada término de la expresión algebraica original entre dicho binomio, se obtiene el polinomio factor:

 

2x(x — 1)  ÷ (x — 1) = 2x

— 3y(x — 1) ÷ (x — 1) = — 3y

 

Por lo tanto, la factorización buscada es:

 

2x(x — 1) — 3y(x — 1)= (x — 1)(2x — 3y)

 

Ejemplo 3

Factoriza:

 Solución

El MCD de los números racionales:

Es:

En cuanto a la parte literal, tanto la x como la y se repiten y hay que tomarlas con el menor exponente, de manera que el factor común literal es:

xy

 Combinando estos resultados, el factor común es:

El polinomio factor se obtiene dividiendo cada término de la expresión original entre el factor común:

La expresión factorizada resulta:

Por F. Zapata.