Conjuntos numéricos

 Un conjunto es una colección de objetos y estos, a su vez, son los elementos de que consta. Los objetos pueden ser de cualquier naturaleza, desde cosas tangibles hasta números, y suelen tener algunas características en común.

 El álgebra representa números a través de letras, como hemos dicho, y de los números existen varios conjuntos con diversas propiedades, mismos que los matemáticos han ido desarrollando conforme se han presentado nuevas necesidades.

 Estos conjuntos numéricos se describen seguidamente, desde el más simple, con el menor número de elementos, hasta el mayor, que incluye a todos los demás. 

Los números naturales, enteros, racionales e irracionales son subconjuntos de un conjunto más amplio, el de los números reales. Los números reales son imprescindibles en ciencia e ingeniería. Fuente: Wikimedia Commons.

Números naturales

El conjunto ℕ de los números naturales es el conjunto numérico más básico y el que menos elementos tiene. Se cree que apareció en Oriente Medio hace unos 4000 años, cuando las personas lo utilizaban para contabilizar sacos de cereales y otros bienes.

Consta de los números que normalmente se usan para contar, más el 0.

Los números naturales incluyen a los números primos como subconjunto, que son los números naturales mayores que 1, que solo tiene 1 y a sí mismo como factores.

A los naturales que no son primos, se les conoce como números compuestos.

Asimismo, está el subconjunto de los números naturales pares y el de los números naturales impares.

Otro subconjunto importante es aquel sin elementos, al cual se le llama conjunto vacío y tiene su propio símbolo: ∅.

 

Tablilla de arcilla con la escritura cuneiforme de la antigua Mesopotamia. En tablillas como esta se han encontrado los primeros indicios de los números naturales, empleados para contabilizar bienes como sacos de trigo y cabezas de ganado. Fuente: Wikimedia Commons.

Números enteros

Como los números naturales no son suficientes para describir ciertas situaciones, como por ejemplo, numerar cómodamente niveles por debajo de cierta línea de referencia, representar ingresos y gastos o dar con la solución de la ecuación x + 1 = 0, se creó el conjunto de los números enteros Z, que incluye valores negativos, es decir, los opuestos a los naturales:

Los números naturales ℕ conforman un subconjunto de los números enteros, lo cual se representa abreviadamente con el símbolo “⊂”:

Números racionales

Podemos preguntarnos qué números hay entre 0 y 1, por ejemplo, o cómo dividir una pizza entre ocho personas. Cualesquiera de estas situaciones se resuelven con el siguiente conjunto numérico Q, el cual incluye a los números racionales, y por ende, a los naturales:

Gracias a estos números, sabemos que entre 0 y 1 está el valor ½, que también puede expresarse en notación decimal como 0.5.

Y entre 0 y ½ está el valor ¼, o 0.25 en notación decimal, si se prefiere, y así sucesivamente. Por lo tanto, entre dos números racionales siempre se podrá encontrar otro número racional.

 El conjunto de los números racionales se representa como:

Una particularidad muy importante de los números racionales es que siempre se los puede expresar como el cociente de dos números enteros. Y otra es que cualquier entero es asimismo un número racional, puesto que puede expresarse como el cociente entre el número entero y 1.

Algunos ejemplos adicionales de números racionales son:

Representación decimal de números racionales

Efectuando el cociente indicado entre numerador y denominador, un número racional adquiere su expresión decimal, la cual puede ser finita o infinita:

Los puntos suspensivos indican la existencia de infinitos dígitos.

Cuando la expresión decimal de un número racional es infinita, resulta ser periódica, es decir, contiene una o más cifras que se repiten periódicamente. Por ejemplo, en:

Se observa que el ‘3’ se repite indefinidamente, siendo este el período de la fracción.

Números irracionales

No todos los números son racionales porque no pueden expresarse como el cociente entre dos enteros. Por este motivo se los llama números irracionales, denotados como I o como F.

Surgen de las soluciones para ecuaciones como x² = 2. Resolver esta ecuación significa encontrar un número cuyo cuadrado sea 2, pero este número no es entero, sino, como se sabe, √2, cuya expresión decimal es 1,41421356… la cual no es periódica.

Siempre que se exprese un número irracional en forma decimal, se está dando una aproximación del mismo, nunca el número exacto, ya que como es de suponer, al tener infinitos decimales, no es posible escribirlos todos en un espacio limitado.

Como √2 no se encuentra entre los números naturales, ni los enteros, ni los irracionales, entonces pertenece a una nueva categoría de números: los irracionales.

Hay números irracionales muy notables, porque aparecen constantemente en ciencia, estos el número π y el número de Neper (o de Euler), llamado ‘e’.

 

Números reales

 Provienen de la unión entre el conjunto de los números racionales y el de los números irracionales:

Los números reales son de importancia primordial en los cursos de cálculo en numerosas disciplinas, pues dan solución a una gran variedad de problemas en ingeniería, ciencia, estadística y más.

La recta real

La recta real, o recta numérica, consiste en una recta donde se ha marcado el 0 y se ha tomado una escala para poder representar sobre ella cualquier número real, con los positivos a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda.

Con su ayuda, se puede localizar cualquier número real, comparar varios números o representar algún intervalo numérico de interés.

Obsérvese que, entre dos números a y b, el que se encuentre a la derecha es mayor que el otro, por ejemplo, entre −6 y −3, este último es el mayor, o entre −4 y 1, el 1 es el mayor.

Números imaginarios

 Entre los números reales, no existe alguno que satisfaga la expresión x² = −1, ya que ningún número real, elevado al cuadrado, resulta negativo.

Es por ello que se definen los números imaginarios, los cuales, cuando son elevados al cuadrado, dan un resultado negativo.

Para expresarlos, se usan los números reales multiplicados por la unidad imaginaria “i”, que tiene la interesante propiedad de que:

i² = −1 o, si se prefiere: i = √−1.

De este modo, una solución de la ecuación:

x² = −4

Es 2i, ya que (2i)² = 2²∙ i² = 4∙(−1) = −4.

La otra solución de la ecuación es (−2)i, dado que [(−2)i]² = (−2)²∙ i² = 4∙(−1) = −4.

Se denotan como I, procurando no confundirlos con los números irracionales (por eso a veces estos se representan con la letra F, para evitar confusiones).

 

Números complejos

Resultan de la unión entre los números reales y los números imaginarios:

Esta unión da lugar a números que:

• Pueden ser puramente reales, o puramente imaginarios.
• Tienen una parte real y otra imaginaria.

Normalmente, en los cursos de Álgebra elemental, el enfoque se centra en los números reales, dejando el estudio de los números complejos para cursos un poco más avanzados o áreas donde tengan mayor aplicación, tal como electromagnetismo, ondas y señales.

Por: F. Zapata.