Todo Ciencia: Cómo resolver el problema del vaciado de un tanque paso a paso

Por Fanny Zapata

Vaciar un tanque es una situación cotidiana, por ejemplo cuando almacenamos agua para su consumo en una vivienda. En diversas industrias gran cantidad de líquidos necesitan ser almacenados y luego trasvasados y transportados.

Conocer el tiempo que tarda el tanque de almacenaje en vaciarse es un parámetro importante para controlar el proceso y optimizar tiempo y costos.

Para saber cuanto tarda un tanque en vaciarse completamente o llegar hasta cierta altura, cuando se le practica un orificio, hay que recordar que la profundidad no es constante.

A medida que el tanque se vacía esta va cambiando y es un factor a considerar a la hora de hacer un modelo matemático de la situación.

Debido a que la profundidad varía, la velocidad con que sale el líquido por el orificio no es constante y tampoco la velocidad con la que baja el fluido dentro del tanque.

Figura 1. Grandes tanques en una industria. Fuente: Wikimedia Commons.

Y cuando estos parámetros no son constantes, hay que usar el cálculo diferencial y el cálculo integral, si queremos hacer un modelo matemático que nos permita resolver el problema.

Fluido no viscoso

El teorema de Torricelli

El teorema de Torricelli para un fluido no viscoso establece que la velocidad de salida de un fluido en régimen laminar por el orificio practicado al fondo del tanque es:

$v^{2}=2gh$

Donde g es el valor de la aceleración de la gravedad y h es la altura del líquido en el tanque. Es la misma fórmula que se utiliza para la caída libre (bajo la acción de la gravedad) de un objeto puntual en ausencia de rozamientos.

El teorema es aplicable cuando tenemos un depósito de gran diámetro y un orificio muy pequeño, de modo que A₁es mucho mayor que A₂

Con todo lo anterior en mente, establecemos las ecuaciones necesarias en el siguiente orden:

Paso 1

Sea h la altura del líquido en un instante dado, la cual disminuye en una cantidad dh en un tiempo dt (porque estamos vaciando el tanque). Como la velocidad es la derivada de la posición en función del tiempo y además la altura va bajando (de allí el signo negativo):

$v_{1}=-\frac{dh}{dt}$

Paso 2

Establecemos la ecuación de continuidad, situando un punto en el tanque, cuya área de sección transversal es A₁ y cuya velocidad es v₁. Por su parte el orificio tiene área A₂ y la velocidad de salida es v₂. El gasto Q es el mismo en ambos puntos:

Q₁ = Q₂

A₁v₁=A₂v₂

Y despejamos v₁:

$v_{1}=\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )v_{2}$

Paso 3

Igualamos la ecuación obtenida en paso 1 con la del paso 2:

$v_{1}=-\frac{dh}{dt}=\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )v_{2}$ $-\frac{dh}{dt}=\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )v_{2}=\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )\sqrt{2gh}$

Paso 4

Se aplica el teorema de Torricelli para la velocidad de salida v₂:

$-\frac{dh}{dt}=\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )v_{2}=\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )\sqrt{2gh}$

Paso 5

Separar las variables, que son h y t:

$-\frac{dh}{dt}=\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )\sqrt{2gh}$

$\frac{dh}{\sqrt{2gh}}=-\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )dt$

Paso 6

Integrar a ambos lados para encontrar la función h(t) que nos da la altura del tanque en función del tiempo o bien despejar directamente el tiempo requerido para hacer llegar el tanque a una altura final H. Esto último es lo que generalmente se pide encontrar.

Los límites de integración para h son la altura inicial H_o y la altura final H, la cual puede ser 0 si el tanque se vacía completamente.

En cuanto a la variable tiempo, esta varia entre t=0, es decir, cuando comenzó a vaciarse el tanque, y un t final, cuando se alcanzó la altura deseada.

$\int_{H_{o}}^{H}\frac{dh}{\sqrt{2gh}}=-\int_{o}^{t}\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )dt$

Paso 7

Resolver las integrales:

Integral en h

$\int_{H_{o}}^{H}\frac{dh}{\sqrt{2gh}}=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{H_{o}}^{H}\frac{dh}{\sqrt{h}}=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{H_{o}}^{H}h^{-\frac{1}{2}}dh=$

$=\frac{2}{\sqrt{2g}}\left (\sqrt{H}-\sqrt{H_{o}} \right )$

Integral en t

$-\int_{0}^{t}\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )dt=-\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )t$

Paso 8

Igualar los resultados de los pasos anteriores:

$\frac{2}{\sqrt{2g}}\left (\sqrt{H}-\sqrt{H_{o}} \right )=-\left (\frac{A_{2}}{A_{1}} \right )t$

Paso 9

Despejar t, que es lo que casi siempre se pide calcular:

$t=-\frac{2A_{1}}{A_{2}\sqrt{2g}}\left (\sqrt{H}-\sqrt{H_{o}} \right )$

El tiempo no es negativo, así que el signo menos no es señal de alarma, porque H < H_o.

Se reacomodan los términos y se elimina el signo menos:

$t=\frac{2A_{1}}{A_{2}\sqrt{2g}}\left (\sqrt{H_{o}}-\sqrt{H} \right )$

Si el tanque se vacía por completo, entonces H= 0 y la ecuación anterior se reduce a:

$t=\left (\frac{2A_{1}}{A_{2}\sqrt{2g}} \right )\sqrt{H_{o}}$

Velocidad de salida real

En el análisis anterior hemos supuesto que hay ausencia de rozamientos, y que por lo tanto es válido el teorema de Torricelli para la velocidad de salida del fluido. Sin embargo hay otros factores a tomar en cuenta que causan la contracción del chorro de agua a la salida.

Para un modelo más realista del vaciado, se multiplica la velocidad de salida por un factor adimensional c, llamado coeficiente de descarga, cuyo valor está comprendido entre 0 y 1:

$v=c\sqrt{2gh}$

Si en el enunciado del problema no aparece dado el coeficiente de descarga, se supondrá que vale 1.

Fluido con viscosidad constante

Ecuación de Poiseuille

¿Es viscoso el fluido? En este caso se espera un tiempo de vaciado mayor a causa de la fricción entre las capas del fluido.

Considerando que se necesita una diferencia de presión p₁ – p₂ para impulsar al fluido por la tubería y vencer el rozamiento, el gasto Q, proporcional a dicha diferencia, viene dado por la ecuación de Poiseuille:

$Q=\frac{dV}{dt}=\frac{\pi \left (p_{1}-p_{2} \right )R^{4}}{8\eta L}$

Donde:

-R es el radio de la tubería

-η es la viscosidad del fluido

-L es la longitud de la tubería

Como Q = Av, en nuestro nuevo modelo de vaciado podemos plantear lo siguiente:

$-Av_{1}=-A\frac{dh}{dt}=\frac{\pi \left (p_{1}-p_{2} \right )R^{4}}{8\eta L}$

Donde A es el área de la sección transversal del tanque o recipiente.

Para demostrar la ecuación de Poiseuille, se requiere dividir la sección transversal del tubo en pequeños anillos de espesor dr, como se muestra en la figura. El área de tal anillo infinitesimal es:

dA=2πrdr

Además se requiere de una expresión para la velocidad del fluido a una distancia radial r. Se puede demostrar que la velocidad máxima para un fluido viscoso en tubo cilíndrico de radio R, está dada por: