Límites: 10 Ejercicios resueltos con todo detalle

En este post se resolverán 10 ejercicios de límite utilizando las siguientes técnicas: i) sustitución directa, ii) tabla de valores, iii)gráficas y iv) herramientas algebraicas.

El límite mostrado en la imagen es un límite notable mediante el cual se define el número ‘e’, de innumerables aplicaciones en ciencia. 

Ejercicio 1

Límite por sustitución directa

Calcular, si es que existe, el siguiente límite:

Solución

El límite se calcula sustituyendo directamente x=0 en la función:

Ejercicio 2

Límite por sustitución directa

Calcular, si existe, el siguiente límite:

Solución

Este límite también se puede calcular mediante sustitución directa sin ningún problema:

Ejercicio 3

Límite usando tabla de valores

Calcular este límite, si existe, mediante una tabla de valores:

  

Solución

Se confecciona una tabla de valores, tomando valores arbitrarios cada vez más cercanos a x=1, tanto por la izquierda como por la derecha, es decir, valores apenas un poco menores y valores apenas un poco mayores que x=1. Estos valores se sustituyen en la función y se calcula el valor resultante, que se va registrando en la tabla. 

Si el límite existe, pronto se hará evidente al examinar los resultados:

En este caso, el límite buscado vale 2, pues los resultados muestran que la función se acerca cada vez más a este valor, cuando x se acerca más y más 1.

Ejercicio 4

Límite usando tabla de valores

Calcular, de ser posible, el siguiente límite:

Solución

La tendencia en los valores es acercarse cada vez más a f(x) = ─1, por lo tanto:

Ejercicio 5

Límite a través de gráficas

Calcular, si existe, el siguiente límite mediante la inspección de la gráfica:

Solución

Examinando la gráfica, se concluye que el límite de la función cuando x tiende a -2 no existe. En efecto, al acercarse a x=2 desde la izquierda, la función decrece rápidamente, mientras que al acercarse desde la derecha, la función crece indefinidamente.

La recta x= −2 es una asíntota vertical de la función.

Ejercicio 6

Límite a través de gráficas

Calcular, si existe, el siguiente límite mediante la inspección de la gráfica:

Solución

El límite de la función cuando x tiende a -2 no existe, ya que acercándose arbitrariamente desde la izquierda a dicho valor, la función crece indefinidamente, mientras que acercándose por la derecha, decrece. La función tiene una asíntota vertical en dicho valor.

Ejercicio 7

Límite mediante factorización

Calcular, si existe, el siguiente límite:

Solución

Se trata de un límite de la forma 0/0, entonces se factoriza el denominador, buscando eliminar la indeterminación. El denominador es una diferencia de cuadrados, por la tanto se escribe como el producto de una suma por su diferencia:

Ejercicio 8

Límite mediante factorización

Calcular, si existe, el siguiente límite:

Solución

Factorizando numerador y denominador respectivamente, la indeterminación desaparece:

Ejercicio 9

Límite mediante racionalización

Calcular, en caso de que exista, el siguiente límite:

Solución

El procedimiento a realizar consiste en una combinación de procedimientos: i) racionalizar el numerador, multiplicando y dividiendo por el conjugado, y ii) factorizar el numerador mediante:  

Ejercicio 10

Límite mediante el uso de límites notables

Calcula el siguiente límite, mediante el uso de alguno de los límites notables:

Solución

La idea es utilizar el límite notable:

Para este fin, se divide el numerador y el denominador entre x y luego se aplican las propiedades de los límites:

Por F. Zapata.

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Cómo dibujar la gráfica de una función de variable real

La gráfica de una función ilustra el conjunto de puntos que satisface la relación entre las variables. Dado que se trata de una función de variable real, el conjunto de partida o dominio de la función será un subconjunto de los números reales. Lo mismo sucede con el conjunto de llegada.

Figura de mariposa obtenida graficando una suma de funciones senoidales y cosenoidales. Fuente: grafikus.ru.

El dibujo obtenido será una curva en el plano, la cual depende de la función en cuestión. Así, la gráfica de una función lineal es una línea recta, la de una función cuadrática es una parábola y la de una función polinómica será una curva cuya forma dependerá del grado del polinomio.

Un procedimiento sencillo para hacer a mano la representación gráfica de una función f(x) es el siguiente:

• Calcule las coordenadas de algunos puntos de la función. Para ello, asigne valores arbitrarios del dominio de la función a la variable x y calcule el correspondiente valor de y. Disponga todo en una tabla. Si conoce puntos importantes de la función, tales como las intersecciones con los ejes, en caso de que existan, agréguelos también.

• Dibuje un sistema de coordenadas cartesianas, preferiblemente sobre un papel cuadriculado o milimetrado. Ayúdese con una regla graduada para dibujar los ejes y tomar una escala adecuada. Sobre este sistema de coordenadas, dibuje los puntos obtenidos en el paso anterior.

• Trace la gráfica uniendo los puntos mediante una curva suave y uniforme, dibujando de izquierda a derecha. Extienda la curva según sea necesario para cubrir el dominio de la función, conforme a la escala seleccionada.

Importante:

• No una los puntos con segmentos de recta, la curva debe ser suave.
• Dibuje suficientes puntos para obtener una imagen completa de la función. Si elige puntos restringiéndose a unos pocos valores de x, es posible que solo obtenga una parte de la curva y se pierda de ver el comportamiento general de la función.

Ejemplo 1

Obtener la gráfica de la función:

f(x)= ─x² + 4

Comentar la gráfica obtenida.

Solución

El primer paso es hacer una tabla de valores como esta:

El segundo paso es dibujar los puntos obtenidos en la tabla sobre el sistema de coordenadas cartesianas. Nótese que cada cuadrito es de 1x1, pero la escala se puede elegir acorde a los valores de las variables.

Por último, se dibuja la curva como se ha indicado anteriormente, es decir, con trazo suave y continuo, comenzando por la izquierda:

La gráfica obtenida es una parábola, ya que corresponde a una función cuadrática. En este caso, la parábola abre hacia abajo y su vértice o punto máximo es el (0,4).

Nótese que tiene dos intersecciones con el eje horizontal: (-2,0) y (2,0).

También puede decirse que la función es creciente en el intervalo que va desde -∞ hasta x=0 y decreciente desde x=0 en adelante.

 

Ejemplo 2

Obtener la gráfica de la función:

f(x)= 2x³ + 3x² ─ x +2

Comentar el comportamiento de la función a partir de la gráfica obtenida.

Solución

Se construye la tabla de valores:

A continuación, se dibujan los puntos obtenidos sobre el plano cartesiano:

Por último, se dibuja la curva como se ha indicado anteriormente, es decir, con trazo suave y continuo, comenzando por la izquierda:

La gráfica obtenida es una curva con una intersección en el eje horizontal y otra en el eje vertical. 

Cuando x toma valores muy negativos, la función decrece rápidamente. En la zona media de la gráfica, la curva alcanza un máximo, luego decrece, cruza el eje vertical y finalmente crece rápidamente a medida que x se vuelve muy positivo.

El comportamiento de la función en la zona media antes descrito se aprecia mejor ampliando la región:

Ejemplo 3

Dibuje la gráfica de la función:

Comentar el comportamiento de la función a partir de la gráfica obtenida.

Solución

Como en los ejemplos anteriores, se construye la tabla de valores. Nótese que x=1 debe excluirse, ya que anula el denominador.

Seguidamente, se dibujan los puntos obtenidos sobre el plano cartesiano:

Por último, se traza suavemente la curva. Nótese que existe una barrera en x=1, la cual separa la curva en dos secciones:

La barrera en cuestión es una recta que se denomina asíntota vertical. Nótese que la curva no la atraviesa, aunque se acerca a ella tanto como se desee. 

Por el lado izquierdo de la asíntota, la función decrece rápidamente cuando x toma valores cada vez más cercanos a 1. En cambio, por la derecha, la función crece rápidamente cuando x se acerca cada vez más a 1. A esto se le denomina comportamiento asintótico.

Por F. Zapata.

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