Enunciado del problema
Un tronco cilíndrico con un diámetro de 450 mm y una longitud
de 6.75 m está flotando en agua dulce, con su eje longitudinal paralelo a la
superficie del agua. De esta forma, 110 mm de diámetro sobresalen por encima
del agua. Calcular el peso específico de la madera del tronco.
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| Figura 1. El tronco que flota horizontalmente en equilibrio estático en agua dulce. Fuente: F. Zapata. |
Solución
El tronco flota en reposo horizontalmente, tal como se muestra en el diagrama de arriba.
Para
encontrar el peso específico de la madera se emplea el principio de Arquímedes. Las fuerzas que actúan sobre el tronco son: el empuje del agua B hacia arriba, que hace que el tronco flote y el peso W del mismo hacia abajo.
Las fuerzas horizontales sobre el tronco se cancelan igualmente.
Ahora bien, como el tronco está en
equilibrio estático, entonces la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre él es nula, de acuerdo a la segunda ley de Newton:
B + W = 0
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| Figura 2. Las fuerzas verticales sobre el tronco son el empuje hacia arriba y el peso hacia abajo. Fuente: F. Zapata. |
Esta es una ecuación vectorial. Pero dado que ambas fuerzas son verticales se prescinde de la
notación vectorial y asignamos signo positivo al empuje, por estar dirigido hacia arriba, y signo negativo al peso, que apunta hacia abajo:
B – W = 0
Según el principìo de Arquímedes, el empuje B tiene
magnitud igual al peso del fluido desalojado:
B = ρagua g x
Volumen sumergido = ρagua g x Vs = γagua .Vs
Mientras que la magnitud del peso W es igual a:
W = mg = ρmadera g x Volumen total = ρmadera
g x Vt = γmadera .Vt
Al sustituir cada una en la ecuación B – W = 0 se obtiene:
γagua .Vs = γmadera .Vt
De donde:
γmadera = γagua .(Vs / Vt )
Calcular el volumen total del tronco no es muy difícil, ya que se usa la fórmula del volumen para el cilindro circular recto, pero el volumen sumergido requiere un poco más de trabajo. Veamos:
El volumen total del tronco Vt es igual al producto del área de sección transversal
por la altura:
Cálculo del volumen total del tronco
Vt = πR2L
Donde R es el radio y L la longitud del tronco. A su vez el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto:
R = 450 mm / 2 = 225 mm = 225 x 10 -3 m
Sustituyendo valores:
Vt = π(225 x 10 -3 m)2. 6.75 m = 1.0735 m3
Cálculo del volumen sumergido
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| Figura 3. Corte transversal de un cilindro circular recto mostrando un segmento circular. Fuente: Wikimedia Commons. |
Las dimensiones que aparecen en la figura y que conocemos son:
h = 110 mm
d = 225 mm – 110 mm = 115 mm
El área sombreada en verde viene dada por:
El área sombreada en verde viene dada por:
Donde θ está
en radianes y se calcula mediante:
 "\theta =2arccos\left (\frac{d}{R} \right )")
Sustituyendo valores se tiene:
=2.06864\:&space;radianes "\theta =2arccos\left (\frac{115}{225} \right )=2.06864\: radianes")
Sustituyendo valores se tiene:
Entonces, el área por encima del agua es:
= 0.0301 m2
Y finalmente el volumen por encima del agua Ve es:
Ve = 0.0301 m2 x 6.75 m = 0.2033 m3
Por lo tanto el volumen sumergido es:
Vs = Vt – Ve = 1.0735 m3 - 0.2033 m3 = 0.8702 m3
También se habría podido calcular el área sumergida directamente, pero usando el ángulo 360 º - θ = expresado en radianes, naturalmente.
Cálculo del peso específico de la madera
Por fin, ahora que se tiene el volumen sumergido, se puede despejar el peso específico de la madera γmadera.
Veamos como queda:
γmadera
= ρmadera . g
γagua
.Vs = γmadera
.Vt
γmadera
= γagua .Vs / Vt = 9800 N/m3.
0.8702 m3 / 1.0735 m3 = 7944.1 N/m3
Referencias
1.- Mott, R. 2006. Mecánica de Fluidos. 4ta. Edición. Pearson Educación.
2.- Wikipedia. Segmento circular. Recuperado de: es.wikipedia.org.
3.- Zapata, F. Principio de Arquímedes: fórmula, demostración, aplicaciones. Recuperado de: https://www.lifeder.com/principio-de-arquimedes/
Excelente, muy buena información
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