En cinemática son comunes los problemas que involucran móviles que van al encuentro o en persecución. Las situaciones más fáciles de resolver tratan de dos móviles que se desplazan sobre una línea recta, bien sea con velocidad constante o con movimiento uniformemente acelerado, pero el número de móviles puede ser mayor, y con diversos movimientos.
Cuando los móviles van al encuentro, quiere decir que viajan
sobre la misma curva, pero en sentidos contrarios. Las consecuencias del encuentro podrían ser desastrosas, como se muestra en la figura de abajo. En cambio,
cuando van en persecución, ya nos podemos imaginar que van en el mismo sentido
y uno de ellos pretende alcanzar al otro. Aquí también pueden presentarse problemas, si no se anda con cuidado.
Normalmente se quiere saber dónde se encuentran los móviles
y cuándo lo hacen, lo que significa que debe encontrarse la coordenada x
que sea la misma para ambos, en un tiempo t determinado, también común a
los móviles. Este será el tiempo de encuentro.
Hay un sinnúmero de situaciones que se pueden presentar, y
por eso hay que estar muy atentos a la información suministrada por el
enunciado: qué tipo de movimiento lleva cada móvil, cuál es el punto de partida
y si parten al mismo tiempo o no, son detalles esenciales para obtener la
solución correcta.
Veamos un ejemplo de este tipo de problemas, resuelto con detalle:
Ejemplo resuelto
Dos localidades A y B están separadas una distancia de 300 km. A las 10 a.m., parte de A un móvil a 60 km/h en dirección a B, y simultáneamente, desde la localidad B, parte otro móvil a 40 km/h dirigiéndose a la localidad A.
a) ¿A qué hora se encuentran?
b) ¿Y a qué distancia de A lo hacen?
c) ¿Cuánto tarda el móvil que parte de A en llegar hasta el poblado B?
d) ¿Qué tiempo demora el móvil que parte de B en llegar al pueblo A?
Solución a
Este es un ejercicio típico, para el que conviene hacer un diagrama de la situación:
A la izquierda tenemos el pueblo A y a la derecha el pueblo
B, separados por una carretera recta de dos sentidos y longitud igual a 300 km.
Ambos móviles se desplazan sobre ella llevando un movimiento rectilíneo
uniforme, puesto que el enunciado informa que sus velocidades se mantienen
constantes.
Se verifica igualmente que las distancias y el tiempo están
dados respectivamente en kilómetros y en horas, de no ser así, es necesario
convertir todo a las mismas unidades.
Otro detalle importante es que los dos parten
simultáneamente, por lo tanto, el tiempo ‘t’ es el mismo para los dos móviles,
pero como se mueven en sentidos contrarios, la velocidad de uno de ellos se
considera positiva, y para distinguirlo del otro, a este se le asignará velocidad
negativa.
Dicho esto, se toma un sistema de referencia, y se
selecciona el origen en algún lugar, por ejemplo, en A, entonces B se ubica en
x = 300 km.
Ya se puede escribir la ecuación de movimiento para cada
uno:
Móvil A
xA(t) = x0 + v∙t
Con x0 = 0, y vA = 60 km/h, por lo
tanto:
xA(t) = 60∙t
Móvil B
xB(t) = x0 + v∙t
Con x0 = 300 km, y vA = −40
km/h, entonces:
xB(t) = 300 − 40∙t
El siguiente paso es igualar las dos ecuaciones:
60∙t = 300 − 40∙t
(60 + 40) ∙t = 300
t = 300/100 = 3 h
Si los móviles partieron al mismo tiempo a las 10 am, se encontrarán
3 horas más tarde, a la 1 pm.
Solución b
Para determinar la distancia del punto de encuentro al
pueblo A, se sustituye x = 3 h en la respectiva ecuación de posición:
xA(t) = 60∙t = 60 km/ h∙ 3 h = 180 km
Los resultados se pueden verificar rápidamente construyendo
la gráfica de la posición versus el tiempo para ambos móviles mediante alguna
calculadora gráfica online como Desmos o Geogebra. Ambos recursos son
gratuitos y fáciles de usar, por lo que son muy recomendables para verificar que los valores obtenidos son correctos.
Simplemente se colocan en las respectivas casillas las funciones de posición de cada móvil y la calculadora hace el resto. Cuando se grafican las respectivas posiciones sobre un mismo plano de coordenadas, con la posición en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal, el punto de encuentro será la intersección de las curvas.
Para el ejemplo propuesto, aquí se muestran las rectas que
corresponden a los dos móviles, en rojo el móvil que parte de A, y en azul para el que parte de B. Nótese que la pendiente (que equivale a la velocidad) del primero
es positiva, mientras que la del segundo es negativa.
El graficador online hace el cálculo de la intersección, que ocurre en el punto marcado en verde, cuyas coordenadas son t =
3 horas, x = 180 kilómetros. Esto coincide con los cálculos hechos más arriba.
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