Todo Ciencia: Cocientes notables

Los cocientes notables son divisiones exactas entre binomios o expresiones algebraicas. Como se utilizan con mucha frecuencia en cálculo, el resultado suele memorizarse, en vez de resolver la división cada vez que se requiera, tal como ocurre con los productos notables.

Los casos a estudiar se resumen en el siguiente cuadro:

Como puede verse, la forma general de estos cocientes es:

Donde n es un entero mayor o igual a 2.

El símbolo ± indica las posibles combinaciones entre los signos, aunque no todas conducen a un cociente notable, porque solo se considera de esta manera cuando la división es exacta, es decir, que el residuo sea 0.

El desarrollo general de un cociente notable como este es:

Nótese que el desarrollo contiene n términos
Siempre se comienza con el término de la forma x^n-1
El último término siempre es a^n-1

Ahora bien, las observaciones siguientes son muy importantes para ayudar a recordar el desarrollo:

Cuando el divisor es de la forma (x+a), los signos de cada término alternan, siendo positivo siempre el primer término. El signo del último término es (+) cuando n es impar, y (–) cuando n es par
Si el divisor es de la forma (x−a), los signos de todos los términos son positivos.

Dicho esto, se estudiará cada caso a continuación, con ayuda del teorema del residuo, con el fin de averiguar cuál es un cociente notable, de acuerdo a la definición.

Caso 1

Para que sea un cociente notable, el residuo de la división debe ser 0, lo cual se comprueba a través del teorema del residuo.

Teorema del residuo

Cuando se divide un polinomio P(x) entre un binomio de la forma x−a, el residuo de la división es P(a).

Para aplicar el teorema a la división del caso 1, el divisor se escribe como sigue:

Con P(x) = xⁿ+ aⁿ

Si la división es exacta, se cumple que:

Hay dos posibilidades:

El cociente es notable si n es impar, ya que el residuo es 0 en este caso.

Nótese que los signos del desarrollo se alternan; el primer término es positivo, el segundo es negativo, el tercero es positivo y así sucesivamente. El último término es positivo, por ser impar el número de términos, y la fórmula queda así:

Ejemplo 1

Resolver:

Solución

Sabiendo que 2³=8, n=3 y aplicando la fórmula obtenida anteriormente, resulta:

Caso 2

Nuevamente, se aplica el teorema del residuo para averiguar si el cociente es notable o no. Escribiendo:

P(x) = xⁿ+ aⁿ

De acuerdo al teorema del residuo, P(a) tendría que ser 0 para obtener una división exacta, sin embargo:

Como el residuo nunca puede hacerse 0, sin importar si n es par o no, este no es un cociente notable.

Caso 3

Al igual que en los casos anteriores, se hace uso del teorema del residuo para analizar el cociente. Reescribiendo como:

Si P(x) = xⁿ− aⁿ

Entonces:

En conclusión, el cociente es notable solamente si n es par. En ese caso, los términos alternan de signo, y por ser par, el número términos, el último siempre es negativo:

Ejemplo 2

Resolver:

Solución

Sabiendo que 81=3⁴, n=4 y utilizando el resultado anterior, se obtiene:

Caso 4

El numerador es P(a) = xⁿ─aⁿ

Esta división siempre es exacta, ya que P(a) = aⁿ─ aⁿ = 0, sin importar la paridad de n. Además, todos los signos en el desarrollo son positivos, obteniéndose:

Ejemplo 3

Resolver:

Solución

Sabiendo que 32=2⁵, n = 5 y mediante el resultado anterior, el cociente es:

Ejemplo 4

Resolver el cociente:

Solución

La expresión se reescribe de esta manera:

Resulta que el exponente es n= 3.

Haciendo x = 4z² y a = 7y³, queda así:

Regresando los cambios:

Divisor con exponente mayor que 1

Los casos anteriores se refieren a divisores de la forma x ± a, pero si la ‘x’ está elevado a un exponente entero mayor, como 2, 3, 4 …, en el resultado el exponente disminuye en 2, 3, 4… Asimismo, la primera potencia de ‘a’ es la misma que tiene en el divisor, y va aumentando en 2, 3, 4… unidades. En cuanto a signos y paridades, el criterio es el mismo que se explicó antes.

Ejemplo 5

Efectuar el cociente: