Factorización por agrupación de términos

 Algunos polinomios, cuyos términos en principio no tienen factor común, pueden ser factorizados agrupando varios términos que sí tengan un factor común. Estos polinomios deben poseer número par de términos, de manera de agrupar de dos en dos, de tres en tres y así sucesivamente.

Fuente: Wannapik

Por ejemplo, el polinomio:

ax + ay + 4x + 4y

No puede factorizarse directamente por factor común, sin embargo, obsérvese que se puede escribir en dos grupos como sigue:

ax + ay + 4x + 4y = (ax+ay) + (4x +4y)

En el primer grupo, el factor común es “a”, y en el segundo grupo, el factor común es “4”:

ax + ay + 4x + 4y = (ax+ay) + (4x +4y) = a(x+y) + 4(x+y)

Nótese que surge un nuevo factor común en los términos: (x+y), por lo tanto:

ax + ay + 4x + 4y = (ax+ay) + (4x +4y) = a(x+y) + 4(x+y)= (x+y)(a+4)

Esta técnica se denomina factorización por agrupación de términos, debido a que es preciso agrupar antes de intentar factorizar. En ocasiones, un polinomio se puede factorizar de esta manera en más de una forma.

 

Ejemplo 1

Factorizar el polinomio:

x³ +3x² ─ 6x ─18

Solución

x³ +3x² ─ 6x ─18 = (x³ +3x²) ─ (6x +18) = x² (x+3) ─ 6(x+3) = (x+3)(x² ─ 6)= (x+3)(x+√6)(x─√6)

 

Ejemplo 2

Factorizar el polinomio:

8bx + 8ax ─ ay + 10a ─ by + 10b

Solución

No hay un factor común a todos los términos, por lo tanto, se intenta factorizar en dos grupos de 3 términos:

8bx + 8ax ─ ay + 10a ─ by + 10b = (8ax─ay+10a) + (8bx─by+10b) =

= a(8x─y+10) + b(8x─y+10) = (a+b) (8x─y+10)

Ejemplo 3

Factorizar el polinomio:

a²x² ─3bx² +a²y² ─ 3by²

Solución

a²x² ─3bx² +a²y² ─ 3by² = (a²x² ─3bx²) + (a²y² ─ 3by²) = x² (a² ─ 3b) + y² (a² ─ 3b) = (x² + y²) (a² ─ 3b)