Todo Ciencia: Límites: 10 Ejercicios resueltos con todo detalle

En este post se resolverán 10 ejercicios de límite utilizando las siguientes técnicas: i) sustitución directa, ii) tabla de valores, iii)gráficas y iv) herramientas algebraicas.

El límite mostrado en la imagen es un límite notable mediante el cual se define el número ‘e’, de innumerables aplicaciones en ciencia.

Ejercicio 1

Límite por sustitución directa

Calcular, si es que existe, el siguiente límite:

Solución

El límite se calcula sustituyendo directamente x=0 en la función:

Ejercicio 2

Límite por sustitución directa

Calcular, si existe, el siguiente límite:

Solución

Este límite también se puede calcular mediante sustitución directa sin ningún problema:

Ejercicio 3

Límite usando tabla de valores

Calcular este límite, si existe, mediante una tabla de valores:

Solución

Se confecciona una tabla de valores, tomando valores arbitrarios cada vez más cercanos a x=1, tanto por la izquierda como por la derecha, es decir, valores apenas un poco menores y valores apenas un poco mayores que x=1. Estos valores se sustituyen en la función y se calcula el valor resultante, que se va registrando en la tabla.

Si el límite existe, pronto se hará evidente al examinar los resultados:

En este caso, el límite buscado vale 2, pues los resultados muestran que la función se acerca cada vez más a este valor, cuando x se acerca más y más 1.

Ejercicio 4

Límite usando tabla de valores

Calcular, de ser posible, el siguiente límite:

Solución

La tendencia en los valores es acercarse cada vez más a f(x) = ─1, por lo tanto:

Ejercicio 5

Límite a través de gráficas

Calcular, si existe, el siguiente límite mediante la inspección de la gráfica:

Solución

Examinando la gráfica, se concluye que el límite de la función cuando x tiende a -2 no existe. En efecto, al acercarse a x=2 desde la izquierda, la función decrece rápidamente, mientras que al acercarse desde la derecha, la función crece indefinidamente.

La recta x= −2 es una asíntota vertical de la función.

Ejercicio 6

Límite a través de gráficas

Calcular, si existe, el siguiente límite mediante la inspección de la gráfica:

Solución

El límite de la función cuando x tiende a -2 no existe, ya que acercándose arbitrariamente desde la izquierda a dicho valor, la función crece indefinidamente, mientras que acercándose por la derecha, decrece. La función tiene una asíntota vertical en dicho valor.

Ejercicio 7

Límite mediante factorización

Calcular, si existe, el siguiente límite:

Solución

Se trata de un límite de la forma 0/0, entonces se factoriza el denominador, buscando eliminar la indeterminación. El denominador es una diferencia de cuadrados, por la tanto se escribe como el producto de una suma por su diferencia:

Ejercicio 8

Límite mediante factorización

Calcular, si existe, el siguiente límite:

Solución

Factorizando numerador y denominador respectivamente, la indeterminación desaparece:

Ejercicio 9

Límite mediante racionalización

Calcular, en caso de que exista, el siguiente límite:

Solución

El procedimiento a realizar consiste en una combinación de procedimientos: i) racionalizar el numerador, multiplicando y dividiendo por el conjugado, y ii) factorizar el numerador mediante: