Todo Ciencia: Productos notables con ejemplos

Hay algunos productos algebraicos para los que existen reglas de resolución que facilitan muchísimo su desarrollo, estos son los productos notables. Aplicando estas reglas, no es necesario multiplicar término a término, sino que se aplica directamente la fórmula del producto notable y así se abrevia el tiempo de resolución, por ello su uso está ampliamente extendido en Álgebra y Cálculo.

Estos productos notables son los siguientes:

I) Cuadrado del Binomio

Un binomio es una expresión algebraica con dos términos se le llama binomio y el producto de un binomio consigo mismo se llama cuadrado del binomio. Para obtener una fórmula que resuma el cuadrado de un binomio, inicialmente se desarrolla mediante la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma o la diferencia:

i) Cuadrado de la suma de dos términos

(a+b)² = (a+b)∙(a+b) = a² +2ab + b²

Este resultado se lee así:

“El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo”.

ii) Cuadrado de la diferencia de dos términos

Empleando un procedimiento análogo, pero teniendo en cuenta los signos negativos, el desarrollo de este producto es:

(a−b)² = (a−b)∙(a−b) = a² −2ab + b²

Y el resultado se lee de esta manera:

“El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo”.

Ejemplo 1

Resolver el siguiente producto notable, aplicando la fórmula correspondiente: (5x – 4)²

(5x – 4)² = (5x)² – 2∙5x∙4+4² = 25x² – 40x + 16

Representación geométrica del cuadrado de la suma de dos términos

Considérese un cuadrado de lado “a+b”, como el área de un cuadrado es el lado al cuadrado, se tiene:

A = (a+b)²

Ahora bien, el área del cuadrado de lado (a+b) consiste en la suma de las áreas de colores mostradas:

II) Suma por su diferencia

Supóngase el producto de la forma (a+b)∙(a−b):

(a+b)∙(a−b) = a² +ab – ab – b² = a²– b²

El resultado se lee así:

“Una suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primero de los términos menos el cuadrado del segundo”

Ejemplo 2

Resolver (3x + 7) ∙ (3x – 7)

(3x + 7) ∙ (3x – 7) = (3x)² – 7² = 9x² – 49

III) Multiplicación de binomios con un término común

Este producto notable tiene la forma: (x+b)∙(x+c). Desarrollando se tiene:

(x+b)∙(x+c) = x² +bx +cx + bc = x² + (b +c)x + bc

Ejemplo 3

Determinar este producto notable: (x + 6)∙(x – 3)

Para aplicar la fórmula del producto notable se toman los siguientes valores:

b = 6

c = – 3

(x + 6) (x – 3) = x² + [6+(– 3)]x + 6∙(– 3) = x² + 3x – 18

IV) Cubo del binomio

Nuevamente, se distinguen dos casos: al sumar o al restar los términos del binomio:

Cubo de la suma de dos términos

Para encontrar una expresión adecuada, se hace uso del resultado previo del cuadrado del binomio:

(a+b)³ = (a+b)²∙(a+b) = (a² + 2ab + b²) ∙(a+b) = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + b²a + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

El resultado se leería de esta manera:

“El cubo de la suma de dos términos equivale al cubo del primero, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del último”

Ejemplo 4

Calcular el siguiente cubo:

(2x + 3)³

(2x + 3)³ = (2x)³ + 3∙ (2x)²∙3 + 3∙2x 3²+3³ = 8x³ + 36x² + 54x + 27

Cubo de la diferencia de dos términos

El procedimiento es análogo, pero tienendo cuidado de operar con los signos negativos:

(a−b)³ = (a−b)²∙(a−b) = (a² − 2ab + b²) ∙(a−b) = a³ − a²b − 2a²b + 2ab² + b²a − b³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

El resultado en palabras queda de esta forma:

“El cubo de la diferencia de dos términos equivale al cubo del primero, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del último”