Como se recordará, los productos notables son operaciones algebraicas que se resuelven cómodamente a través de reglas. Al factorizar, se estaría llevando a cabo la operación inversa que al desarrollar el producto. Es decir, en vez de llevar a cabo la multiplicación, se dispone del desarrollo, el cual deberá llevarse a la forma de producto.
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| La factorización es un procedimiento común en cursos de cálculo para científicos e ingenieros. Fuente: Freepik |
Caso
1
Factorización
de binomios de la forma a2 − b2
Un binomio de la forma a2 − b2 se puede escribir como producto de dos factores de acuerdo al producto notable suma por su diferencia:
a2 − b2 = (a + b)∙(a − b)
Ejemplo
Factorizar la expresión:
Solución
100 = 102
En ese caso:
b = 10
La expresión factorizada resulta:
El lector puede comprobar que es correcta aplicando la propiedad distributiva en el lado derecho de la igualdad.
Caso
2
Factorización
de trinomios cuadrados perfectos
A partir
del trinomio cuadrado perfecto, se obtiene el producto notable que se muestra a
continuación:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Cuando se da un trinomio para factorizar, y
este contiene dos cuadrados perfectos a2 y b2, conviene
verificar si el término restante es el doble producto de las respectivas raíces
cuadradas a y b. Si esto ocurre y, además, el signo que precede al tercer
término b2 es +, la factorización del trinomio corresponde a este
caso.
El siguiente ejemplo ilustra lo dicho:
Ejemplo
Factorizar:
Solución
El primer paso consiste en asegurarse de que hay dos cuadrados perfectos en el trinomio. En efecto, se observa que hay dos cuadrados perfectos: 49x2 y 4, los cuales se escriben así:
49x2 = (7x)2
4 = 22
El signo que precede al 4 es positivo y, por lo
tanto:
b = 2
Por último, es necesario verificar que el
término restante sea el doble producto de a y b:
Y la factorización buscada es:
Caso
3
Factorización
de trinomios de la forma x2 + bx + c
En este
caso, c no es un cuadrado perfecto, así que estos trinomios no se pueden
factorizar en el caso anterior, sin embargo, se puede intentar el siguiente
procedimiento:
Paso 1
Es
importante que el trinomio esté ordenado en forma descendente, es decir,
comenzando por el término de mayor grado, que es el término cuadrático, tal
como se ha indicado en el encabezado de esta sección. Enseguida se escriben dos
paréntesis, dentro de los cuales aparece, en primer lugar, la raíz cuadrada del
primer término, que no es otra sino ‘x’:
x2 + bx + c = (x )∙ (x )
Paso 2
Seguidamente, se añaden los signos correspondientes en cada paréntesis,
de acuerdo al siguiente criterio:
- En el primer paréntesis se coloca el signo del segundo término
- El otro paréntesis lleva el signo que resulta al multiplicar los signos del segundo y el tercer término.
Paso 3
Se tantea (se prueba) en busca de dos números cuyo producto sea igual a
c y después según estos criterios:
Si los signos de los paréntesis son iguales, la suma de ambos números
debe ser igual b,
Si los signos son diferentes, entonces la resta entre el mayor y el
menor debe ser igual a b
En cualquier caso, siempre se coloca el mayor de los
números en el primer paréntesis.
Ejemplo
Factorizar:
Solución
Luego se
tantea en busca de números cuyo producto sea 40. Puede haber más de una
combinación. Dado que 40 es un número relativamente pequeño, no debería ser
difícil ubicar los valores buscados, pero si se trata de un número mayor, es
preferible descomponerlo como producto de factores y encontrar la combinación
adecuada entre estos.
Por
ejemplo, 5×8 = 40 es una combinación posible, pero no cumple el criterio de que
su diferencia sea 6, en cambio, la combinación 4×10 = 40 sí, ya que 10 ─ 4 = 6.
Se sigue
que la factorización del trinomio es:
Caso
4
Factorización
de trinomios de la forma ax2 + bx + c
En estos
trinomios el término cuadrático está acompañado de un coeficiente diferente de
0 y de 1. Los pasos a seguir en este caso son:
Paso
1
Se
multiplica toda la expresión por “a”:
Importante: no efectuar el
producto a∙bx, sino dejarlo indicado. Luego, en el ejemplo resuelto, se hará
evidente el motivo.
Paso 2
Se escriben dos paréntesis, como en el caso anterior, pero aquí se
coloca en ellos el término ‘ax’:
Paso 3
Colocar los signos conforme a los criterios del caso anterior:
Paso 4
Se tantea
en busca de dos números tales que cumplan lo siguiente:
i) Su producto es “a∙c”
ii) Su suma es b, si los dos signos en los paréntesis son iguales
iii) Su resta es b, si los signos son diferentes.
Paso 5
Se completan los paréntesis con los números determinados en el paso
anterior.
Paso 6
Puesto que la expresión original se alteró al ser multiplicada por “a”,
que para obtener la factorización definitiva se divide el resultado por “a”.
Ejemplo
Factorizar:
Solución
En este caso, a = 6. Entonces, se multiplica toda la expresión por 6:
Conforme a las instrucciones, no se efectúa la operación 6∙ (7x), sino
que se deja indicada. Los paréntesis quedan así:
Los signos son iguales, entonces se buscan dos
números que al ser multiplicados den 12 y al ser sumados den b = 7. Por este
motivo no es preciso realizar producto 6∙ (7x), sino
dejarlo indicado.
Si el valor de a∙c es relativamente pequeño, los números se encuentran por tanteo, pero siempre se pueden encontrar a partir
de la combinación de productos de los factores de a∙c.
El 12 se puede expresar como 3∙4, 6∙2 y 12∙1.
De estas combinaciones, la primera es la elección
correcta, pues 3 + 4 = 7.
El último paso es dividir todo por 6 y obtener la factorización definitiva:
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